Bukti untuk identiti Pythagoras

Dalam Trigonometri, dua sisi yang berserenjang dalam segi tiga dirujuk sebagai sisi bertentangan atau sisi bersebelahan bagi sudut ayng diberi. Sisi tersebut boleh juga dirujuk sebagai kaki segi tiga tepat. Sisi yang terpapnjang dipanggil hipotenus.

Teorem Pythagoras menyatakan a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}} iaitu sisi a dan b adalah kaki bagi segi tiga tegak dan c adalah hipotenus. Oleh kerana sisi bersebelahan dan bertentangan juga kaki bagi segi tiga, maka kedua-duanya boleh digunakan sebagai sisi a dan b. Maka, kepanjangan sisi bertentangan kuasa dua tambah kepanjangan sisi bertentangan kuasa dua adalah sama dengan kepanjangan hipotenus kuasa dua.

t t g 2 + s b l h 2 = h i p 2 {\displaystyle \mathrm {ttg} ^{2}+\mathrm {sblh} ^{2}=\mathrm {hip} ^{2}\,}

Ini akan dibuktikan dengan tiga identiti Pythagoras.

Bukti untuk sin²A + kos²A = 1

Mengikut takrif, sin A ialah bertentangan dibahagi oleh hipotenus dan kos A adalah bersebelahan dibahagi dengan hipotenus. Sengan menggunakan penggantian, persa,aam asal

sin 2 ⁡ A + k o s 2 A = 1 {\displaystyle \sin ^{2}A+\mathrm {kos} ^{2}A=1\,}

boleh ditulis menjadi:

t t g 2 h i p 2 + s b l h 2 h i p 2 = 1 {\displaystyle {\frac {\mathrm {ttg} ^{2}}{\mathrm {hip} ^{2}}}+{\frac {\mathrm {sblh} ^{2}}{\mathrm {hip} ^{2}}}=1\,}

Dengan mendarabkan kedua-dua belah dengan h i p 2 {\displaystyle \mathrm {hip} ^{2}} , persamaan akan menjadi

t t g 2 + s b l h 2 = h i p 2 {\displaystyle \mathrm {ttg} ^{2}+\mathrm {sblh} ^{2}=\mathrm {hip} ^{2}\,}

yang mengikut Teorem Pythagoras.

Bukti untuk 1 + tan²A = sec²A

Oleh kerana tan A adalah sama dengan bertentangan dibahagikan oleh bersebelahan dan sek A adalah hipotenus dibahagikan oleh bersebelahan, maka persamaan asal

1 + tan 2 ⁡ A = s e k 2 A {\displaystyle 1+\tan ^{2}A=\mathrm {sek} ^{2}A\,}

boleh ditulis menjadi:

1 + t t g 2 s b l h 2 = h i p 2 s b l h 2 {\displaystyle 1+{\frac {\mathrm {ttg} ^{2}}{\mathrm {sblh} ^{2}}}={\frac {\mathrm {hip} ^{2}}{\mathrm {sblh} ^{2}}}\,}

Dengan mendarabkan kedua-dua belah dengan s b l h 2 {\displaystyle \mathrm {sblh} ^{2}} , persamaan akan menjadi

s b l h 2 + t t g 2 = h i p 2 {\displaystyle \mathrm {sblh} ^{2}+\mathrm {ttg} ^{2}=\mathrm {hip} ^{2}\,}

yang mengikut Teorem Pythagoras.

Bukti untuk 1 + kot²A = kosek²A

Oleh kerana kot A sama dengan bersebelahan dibahagikan dengan bertentangan dan kosek A adalah sama dengan hipotenus dibahagikan dengan bersebelahan, persamaan asal

1 + k o t 2 A = k o s e k 2 A {\displaystyle 1+\mathrm {kot} ^{2}A=\mathrm {kosek} ^{2}A\,}

boleh ditulis menjadi:

1 + s b l h 2 t t g 2 = h i p 2 t t g 2 {\displaystyle 1+{\frac {\mathrm {sblh} ^{2}}{\mathrm {ttg} ^{2}}}={\frac {\mathrm {hip} ^{2}}{\mathrm {ttg} ^{2}}}\,}

Dengan mendarabkan kedua-dua belah dengan t t g 2 {\displaystyle \mathrm {ttg} ^{2}} , persamaan akan menjadi

t t g 2 + s b l h 2 = h i p 2 {\displaystyle \mathrm {ttg} ^{2}+\mathrm {sblh} ^{2}=\mathrm {hip} ^{2}\,}

yang mengikut Teorem Pythagoras.